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极坐标下的二重积分计算法
极坐标系下，直线x＝1的方程是ρcosθ＝1，即ρ＝1/cosθ。射线y＝x的方程是θ＝π/4。
确定θ的取值范围：积分区域夹在射线θ＝0与θ＝π/4之间，所以θ的取值范围是 0≤θ≤π/4。
确定ρ的取值范围：从极点作射线与直线ρ＝1/cosθ相交，所以ρ的取值范围是 0≤ρ≤1/cosθ。
所以，二重积分在极坐标系下表示为：∫0～π/4 dθ ∫0～1/cosθ f(ρcosθ，ρsinθ) ρdρ
高等数学，关于二重积分极坐标问题
极坐标下二重积分的计算方法如下：
极坐标下的二重积分是?x^2+y^2，特别是含有它们的分数方次的情况。例如以下两种情形通常的二重积分使用极坐标计算：
积分区域D与圆有关（可以是部分圆域，例如圆周与直线所围成的区域）。被积函数f（x，y）中含有形如x?+y?，xy，y/x，x/y的式子。
若1、2同时满足，则必定要采用极坐标计算，但如果仅满足其中一个，特别是1不满足时，有时用直角坐标计算反而更方便。
二重积分几何意义：
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分，其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。?
数值意义：
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数，其积分区域D是由所围成的区域。其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。?
故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。?
这要靠经验了，多画图就能知道原点与D的位置关系
原点在D内的情况，通常是圆心(0，0)在原点的圆系：
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，包括标准圆
菱形系：|x| ≤ a，|y| ≤ b、|x| + |y| ≤ 1等等
圆点在D边界上的情况，通常是以x轴或y轴为切线的圆
例如x^2 + y^2 = 2ax、x^2 + y^2 = 2ay，可用对称性化简
或长方形：0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1
原点在D外的情况多为扇形、圆环、平行四边形等等
例如a ≤ x^2 + y^2 ≤ b和y = x，y = 2x
x = 1，y = 1和y = x + 1、y = x + 2
y = 1/x、y = 2/x和y = x、y = 2x等等
对于原点在D外的情况，多用变量变换的方法来化简
使D贴近原点或x轴y轴、或变为容易积分的长方形区域
积分上下限的表示是由积分区域D来决定，并非被积函数
但是应否通过变量变换来化简积分步骤，就要看被积函数了
例如曾经出过多次的∫∫ e^[(y - x)/(y + x)] dxdy，D：{x + y ≤ 1，x = 0和y = 0}
这题就好用变量变换u = y - x，v = y + x
也有积分区域D很复杂，而要通过被积函数的变量变换来化简
例如你这题∫∫ (x^2/a^2 + y^2/b^2) dxdy，D：{x? + y? ≤ R?}
可通过u = x/a、v = y/b化简，那么区域D就变为椭圆了
椭圆和标准圆之间的转换也可以通过广义极坐标法变换
x = arcosθ、y = brsinθ，dxdy = abrdrdθ，将椭圆区域变为标准圆
有些圆是关于直线y = x对称(轮换对称)
例如(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1，可通过变换u = x - 1、v = y - 1将圆心移到原点
当然，如果D具有对称性的话，就好利用了
对于x^2 + y^2 ≤ R^2，关于x轴和y轴都对称
有∫∫ x^2 dxdy = ∫∫ y^2 dxdy = (1/2)∫∫ (x^2 + y^2) dxdy
∫∫ (x^2/a^2 + y^2/b^2) dxdy
= (1/a^2)∫∫ x^2 dxdy + (1/b^2)∫∫ y^2 dxdy
= (1/a^2 + 1/b^2)∫∫ x^2 dxdy
= (1/2)(1/b^2 + 1/b^2)*∫∫ (x^2 + y^2) dxdy
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